LOGIKA DAN PENALARAN

BAB I

PENDAHULUAN

1.      Latar Belakang

Materi Matematika Diskrit di makalah ini dimulai dari pokok bahasan logika.  Logika merupakan  studi  penalaran  (reasoning). Dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia disebutkan  definisi penalaran, yaitu cara berpikir dengan mengembangkan sesuatu berdasarkan akal budi dan bukan dengan perasaan atau pengalaman.  Pelajaran logika difokuskan pada   hubungan antara pernyataan- pernyataan (statements). Tinjau argumen berikut:

  Semua pengendara sepeda motor memakai helm.

  Setiap orang yang memakai helm adalah mahasiswa. 

  Jadi, semua pengendara sepeda motor adalah mahasiswa.

Meskipun logika tidak membantu menentukan apakah pernyataan-pernyataan tersebut benar atau salah, tetapi jika kedua pernyataan tersebut benar, maka penalaran dengan menggunakan logika membawa kita pada kesimpulan bahwa pernyataan

Semua pengendara sepeda motor adalah mahasiswa (juga benar).  Di dalam matematika, hukum-hukum logika menspesifikasikan makna dari pernyataan matematis. Hukum-hukum logika tersebut membantu kita  untuk membedakan antara argumen yang valid dan tidak valid. Logika juga digunakan untuk membuktikan teorema-teorema di dalam matematika.

Logika pertama kali dikembangkan oleh filusuf Yunani, Aristoteles, sekitar 2300 tahun yang lalu.  Saat ini,  logika mempunyai aplikasi yang luas di dalam ilmu komputer, misalnya dalam bidang  pemrograman, analisis kebenaran algoritma,  kecerdasan buatan (artificial intelligence), perancangan komputer, dan sebagainya.  

Makalah ini  dimulai dengan definisi proposisi dan notasi yang digunakan untuk melambangkan  proposisi. Selanjutnya dijelaskan pula cara mengkombinasikan proposisi majemuk dan membentuk tabel kebenarannya. Proposisi majemuk yang  lain seperti implikasi dan bi-implikasi dibahas pada tugas ini.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1.      Pengertian Logika

Logika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan benar. Secara bahasa, logika berasal dari kata “logos” (bahasa Yunani), yang artinya kata, ucapan, pikiran. Kemudian pengertian itu berkembang menjadi ilmu pengetahuan. Logika dalam pengertian ini adalah berkaitan dengan argumen-argumen, yang mempelajari metode-metode dan prinsip-prinsip untuk menunjukkan keabsahan (sah atau tidaknya) suatu argumen, khususnya yang dikembangkan melalui penggunaan metode-metode matematika dan simbol-simbol matematika dengan tujuan untuk menghindari makna ganda dari bahasa yang biasa kita gunakan sehari-hari.

Logika pertama kali dikembangkan oleh filusuf Yunani, Aristoteles, sekitar 2300 tahun yang lalu.  Saat ini,  logika mempunyai aplikasi yang luas di dalam ilmu komputer, misalnya dalam bidang  pemrograman, analisis kebenaran algoritma,  kecerdasan buatan (artificial intelligence), perancangan komputer, dan sebagainya.  

Logika merupakan dasar dari semua penalaran (reasoning). Penalaran didasarkan pada hubungan antara pernyataan satu dengan yang lainnya(statments).

2.1.1.      Definisi Logika Matematika

Logika matematika (logika simbolik) adalah ilmu tentang penyimpulan yang sah (absah), khususnya yang dikembangkan melalui penggunaan metode-metode matematika dan symbol-simbol matematika dengan tujuan menghindari makna ganda dari bahasa sehari-hari.

2.1.2.      Manfaat Logika Matematika

Manfaat logika matematika

Ø  Membantu kita berpikir secara rasional, kritis, dan sistematis;

Ø  Meningkatkan kemampuan berpikir secara  objektif dan cermat;

Ø  Meningkatkan cinta pada kebenaran dan  menghindari kesalahan-kesalahan berpikir.

2.2.      Pengertian Proposisi

Di dalam matematika, tidak semua  kalimat berhubungan dengan logika. Hanya kalimat yang  bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Kalimat tersebut dinamakan proposisi (preposition). 

Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak  dapat sekaligus  keduanya.  Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai kebenarannya (truth value).

Pernyataan-pernyataan berikut ini merupakan contoh dari Proposisi :

ü  6 adalah bilangan genap.

ü  Soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama.

ü  2 + 2 = 4.

ü  13 adalah bilangan ganjil

ü  Hari ini adalah hari Kamis

Berikut ini yang bukan merupakan proposisi :

§  x  + 3 = 10

§  x  > 50

§  Isi gelas itu dengan air !

§  Apa nama ibukota Spanyol ?

Untuk melambangkan sebuah proposisi biasanya menggunakan huruf kecil  p , q , r , .

2.3. Mengkombinasikan Proposisi

·         Mengkombinasikan proposisi, kita dapat membentuk  proposisi baru dengan menggabungkan satu atau  lebih dari  proposisi. Kita sering menformalkan notasi proposisi dengan huruf alfabet seperti p, q, r, s dan beberapa operator logika.

·         Ada 2 jenis proposisi, yaitu proposisi majemuk dan atomik.

Kita dapat membentuk proposisi baru dengan cara mengkombinasikan satu atau lebih proposisi.  Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebut operator logika. Operator logika dasar yang digunakan adalah  dan (and),  atau (or), dan  tidak (not). Dua operator pertama dinamakan operator biner karena operator  tersebut mengoperasikan dua buah proposisi, sedangkan operator ketiga dinamakan operator uner karena ia hanya membutuhkan satu buah proposisi. 

Proposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian tersebut dinamakan proposisi majemuk (compound proposition). Proposisi yang bukan merupakan kombinasi proposisi lain disebut  proposisi atomik. Dengan kata lain, proposisi majemuk disusun dari proposisi-proposisi atomik.  Metode pengkombinasian proposisi dibahas oleh matematikawan Inggris yang bernama George Boole pada tahun 1854 di dalam bukunya yang terkenal,  The Laws of Thought. Proposisi majemuk ada tiga macam, yaitu konjungsi, disjungsi, dan ingkaran. Ketiganya didefinisikan sebagai berikut:

Misalkan p dan q sebuah proposisi :

1.       Konjungsi                  :  p dan q    à  notasi  p ᴧ q.

2.       Disjungsi                    :   p atau q  à  notasi  p ᴠ q

3.       Ingkaran  dari p         :  tidak p    à  notasi  ~p      

ü  p dan q disebut proposisi anatomik.

ü  Kombinasi p dan q menghasilkan proposisi majemuk.

   

Contoh :

p   : Hari ini hujan

q    : Murid-murid diliburkan dari sekolah

maka          :

p ᴧ q         : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah

p ᴠ q         : Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah

~p              : Tidak benar hari ini hujan

                   (atau : Hari ini tidak hujan)

Tabel Kebenaran

Nilai kebenaran dari proposisi majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran dari  proposisi atomiknya dan cara mereka dihubungkan oleh operator logika. 

Satu cara yang praktis untuk menentukan nilai kebenaran proposisi majemuk adalah menggunakan tabel kebenaran (truth table). Tabel kebenaran menampilkan hubungan antara nilai kebenaran dari  proposisi atomik. Tabel 1.1 menunjukkan tabel kebenaran untuk konjungsi, disjungsi, dan ingkaran. Pada tabel tersebut, T =  True (benar), dan F = False (salah).

• Konjungsi bernilai benar jika keduanya bernilai benar selain itu nilainya salah.
• Disjungsi bernilai salah jika keduanya bernilai salah selain itu bernilai benar.
• Negasi merupakan kebalikan dari nilai yang di inputkan.

=>   Tabel Konjungsi

 

=> Tabel Disjungsi

=> Tabel Negasi

Hukum-Hukum Logika Proposisi

Beberapa hukum logika proposisi mirip dengan hukum aljabar pada sistem bilangan riil, misalnya a(b + c) = ab + bc, yaitu hukum distributif, sehingga hukum logika proposisi disebut juga hukum aljabar proposisi.

2.4.Proposisi Bersyarat (Implikasi)

• Proposisi bersyarat atau disebut juga implikasi (jika maka) biasa dilambangkan dengan simbol “ → “

·         Implikasi p → q adalah proposisi yang bernilai salah jika p benar dan q salah, dan bernilai benar jika lainnya.

·         Proposisi p disebut hipotesis, antesenden, premis, atau kondisi

·         Proposisi q disebut konklusi (atau konsekuen).

·         Cara-cara mengekspresikan implikasi p → q:

ü  Jika p,maka q

ü  Jika p, q

ü  p mengakibatkan q (p implies q)

ü  q jika p

ü  p hanya jika q

ü  p syarat cukup untuk q (hipotesis menyatakan syarat cukup (sufficient condition) )

ü  q syarat perlu untuk p (konklusi menyatakan syarat perlu (necessary condition) )

ü  q bilamana p (q whenever p)

Contoh implikasi :

1.      Jika saya sakit, maka saya merasa lemah

2.      Jika saya naik kelas maka ayah akan memberi hadiah

3.      Jika suhu mencapai 80ᵒ C,maka alarm akan berbunyi

4.      Jika anda tidak mendaftar ulang, maka anda dianggap mengundurkan diri

Contoh Lain :

Ahmad bisa mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal hanya jika ia sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit.

Ingat: p → q dapat dibaca p hanya jika q

p   : Ahmad bisa mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal

q   : Ahmad sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit.

Notasi standard: Jika p, maka q

Jika Ahmad mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal maka ia sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit.

Tabel kebenaran Implikasi

P	Q	P → Q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

2.5. Varian Implikasi

Ada 3 varian implikasi yaitu :

• Konvers dari implikasi p → q adalah q → p

• Invers dari implikasi p → q adalah ~ p → ~ q

• Kontraposisi dari implikasi p → q adalah ~ q → ~p

Contoh  : Tentukan Konvers , Invers dan Kontraposisi

“Jika hujan turun, maka Jakarta Banjir”

Konvers           : Jika Jakarta Banjir, maka hujan turun

Invers              : Jika hujan tidak turun,maka jakarta tidak banjir

Kontraposisi    : Jika Jakarta tidak banjir , maka hujan tidak turun.

2.6.Bikondisional atau Bi-implikasi

• Bi-impkikasi (jika dan hanya jika) biasanya di lambangkan dengan simbol ↔
• Bi-impkikasi bernilai benar hanya jika komponen-komponennya bernilai sama.
• Cara-cara menyatakan bikondisional p ↔ q:

(a)  p jika dan hanya jika q.    

(b)  p adalah syarat perlu dan cukup untuk q.

(c)  Jika p maka q, dan sebaliknya.

(d)  p  iff  q

Tabel kebenaran Bi-Implikasi :

P	Q	P ↔ Q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

Contoh bi-implikasi :

1.      Jika      p : 2 bilangan genap (T)

q : 3 bilangan ganjil (T)

maka p ↔ q     : 2 bilangan genap jika dan hanya jika 3 bilangan ganjil (T)

2.      Jika      r : 2 + 2 ≠5 (T)

s : 4 + 4 < 8 (F)

maka r ↔ s : 2 + 2 ≠ 5 jika dan hanya jika 4 + 4 < 8 (F)

3.      Jika      a : Surabaya ada di jawa barat (F)

b : 23 = 6 (F)

maka a ↔        : Surabaya ada di jawa barat jika dan hanya jika 23 = 6 (T)

2.7.INTERFERENSI

Inferensi adalah proses penarikan kesimpulan dari beberapa proposisi. Beberapa kaidah inferensi :

a.      Modus Ponen

Premis 1          : p →q

Premis 2          : p

____________________

…                     : q

Cara membacanya : Apabila diketahui jika p maka q benar, dan p benar, disimpulkan q benar.

Contoh :

Premis 1      : Jika saya belajar, maka saya lulus ujian (benar)

Premis 2      : Saya belajar (benar)

________________________________________________

…               : Saya lulus ujian (T)

Baris pertama dari tabel kebenaran kondisional (implikasi) menunjukkan validitas dari bentuk argumen modus ponen.

b.      Modus Tolen :

Kaidah ini  didasarkan pada tautologi [~q ᴧ (p → q)] → ~p,  Kaidah ini modus tollens ditulis dengan cara:

Premis 1          : p →q

Premis 2          : ~ q

_____________________

…            : ~ p

Contoh :

Premis 1      : Jika hari hujan maka saya memakai jas hujan (T)

Premis 2      : Saya tidak memakai jas hujan (T)

_________________________________________________________

…                :  Hari tidak hujan (benar)

Perhatikan bahwa jika p terjadi maka q terjadi, sehingga jika q tidak terjadi maka p tidak terjadi.

c.       Silogisme Hipotesis:

Premis 1          : p →q

Premis 2          : q →r

_________________

…            : p →r

Contoh :

Premis 1      : Jika kamu benar, saya bersalah (T)

Premis 2      : Jika saya bersalah, saya minta maaf (T)

_____________________________________________

…                   : Jika kamu benar, saya minta maaf (T)

d.      Silogisme Disjungtif

Premis 1          : p Ú q

Premis 2          : ~ q

__________________

…            : p

Jika ada kemungkinan bahwa kedua pernyataan p dan q dapat sekaligus bernilai benar, maka argumen di bawah ini tidak valid.

Premis 1          : p ∨ q

Premis 2          : q

___________________

…            : ~ p

Tetapi jika ada kemungkinan kedua pernyataan p dan q tidak sekaligus bernilai benar (disjungsi eksklusif), maka sillogisma disjungtif di atas adalah valid.

Contoh :

1. Premis 1      : Pengalaman ini berbahaya atau membosankan (T)

Premis 2      : Pengalaman ini tidak berbahaya (T)

_______________________________________________________

…            : Pengalaman ini membosankan (T)

2. Premis 1      : Obyeknya berwarna merah atau sepatu

Premis 2      : Obyek ini berwarna merah

_____________________________________________

…       : Obyeknya bukan sepatu (tidak valid)

      Simplikasi

Premis 1          :   p ^ q

__________________

…            :  p

Contoh :

Premis 1      : Hamid adalah mahasiwa ITB dan Unes

_________________________________________________________

…            : Hamid adalah mahasiwa ITB

Konjungsi

Premis 1          : p

Premis 2          : q

__________________

…            : p Λ q

Artinya : p benar, q benar. Maka p Λ q benar.

  Tambahan (Addition)

Premis 1          : p

__________________

…           : p ν q

Artinya : p benar, maka p ν q benar (tidak peduli nilai benar atau nilai salah yang dimiliki q).

2.8.       ARGUMEN

Argumen adalah rangkaian pernyataan-pernyataan yang mempunyai ungkapan pernyataan penarikan kesimpulan (inferensi). Argumen terdiri dari pernyataan-pernyataan yang terdiri atas dua kelompok, yaitu kelompok pernyataan sebelum kata ‘jadi’ yang disebut premis (hipotesa) dan pernyataan setelah kata ‘jadi’ yang disebut konklusi (kesimpulan).

Contoh argument :

“jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang.air laut surut setelah gempa di laut. Karena itu tsunami datang.”

Adalah sahih.

Penyelesaian:

Misalkan p adalah “jika air laut surut setelah gempa di laut” dan q adalah proposisi “tsunami datang. Makadapat ditulis sebagai berikut :

Premis 1          : p→q

Premis 2          : q

__________________

…            : q

2.9.          Aksioma, Teorema, Lemma, Corollary

a.      Aksioma

Aksioma adalah proposisi yang diasumsikan benar, aksioma tidak memerlukan pembuktian kebenaran lagi.

Contoh aksioma :

Untuk semua bilangan real x dan y, berlaku x + y = y + x (hukum komutatif penjumlahan)

b.      Teorema

Teorema adalah proposisi yang sudah terbukti benar.

Contoh teorema:

Jika dua sisi dari sebuah segitiga sama panjang, maka sudut yang berlawanan dengan sisi tersebut sama besar.

c.       Lemma

Lemma adalah teorema yang digunakan dalam pembuktian teorema lain.

contoh lemma:

jika n adalah bilangan bulat positif, maka n-1 bilangan positif atau n-1 = 0.

d.      Carollary

Carollary adalah teorema yang mengikuti teorema lain.

Contoh carollary:

Jika sebuah segitiga sama sisi,maka segitiga tersebut sama sudut.

Carolarry ini mengikuti teorema diatas.

2.10.      Pengertian Penalaran

Penalaran yaitu proses berfikir yang bertolak dari pengamatan indera atau observasi empirik yang menghasilkan sejumlah pengertian dan proposisi sekaligus. Penalaran erat kaitannya dengan penyimpulan, argumen dan bukti. Penyimpulamn dalam arti yang sebenarnya tidak mencakup aktivitas menemukan proposisi-proposisi disusun dalam premis., akan tetapi hanya memakai hubungan proposisi-proposisi dalam premis dan menentukan konklusinya.

Jika penalaran itu aktivitas pikiran yang abstrak, maka argumen lambangnya berbentuk bahasa atau bentuk-bentuk lambing lainnya. Jadi jika kata lambangny apengertian, kalimat lambangnya proposisi, maka argumen lambangnya penalaran. Akhirnya yang disebu bukti itu adalah argumen yang berhasil menentukan kebenaran konklusi premis. Penalaran dibagi menjadi dua jenis yaitu penalaran induktif dan penalaran deduktif.

Ciri-ciri Penalaran :

1.      Adanya suatu pola berpikir yang secara luas dapat disebut logika (penalaran merupakan suatu proses berpikir logis).

2.      Sifat analitik dari proses berpikir. Analisis pada hakikatnya merupakan suatu kegiatan berpikir berdasarkan langkah-langkah tertentu. Perasaan intuisi merupakan cara berpikir secara analitik.

Penalaran Ilmiah sendiri dapat dibagi menjadi 2, yaitu :

1.      Deduktif yang berujung pada rasionalisme

2.      Induktif yang berujung pada empirisme

2.10.1.  PENALARAN INDUKTIF

Penalaran induktif adalah suatu proses mencapai kesimpulan umum berdasarkan dari observasi contoh - contoh khusus.

Penalaran induktif adalah tipe penalaran yang berawal dari sekumpulan contoh fakta spesifik menuju kesimpulan umum. Penalaran ini menggunakan premis dari objek yang diuji untuk menghasilkan kesimpulan tentang objek yang belum diuji.

Contoh argumen induktif:

Premis 1 : Kuda Sumba punya sebuah jantung

Premis 2 : Kuda Australia punya sebuah jantung

Premis 3 : Kuda Amerika punya sebuah jantung

Premis 4 : Kuda Inggris punya sebuah jantung

Konklusi : Setiap kuda punya sebuah jantung

2.10.2.  PENALARAN DEDUKTIF

Penalaran deduktif dikembangkan oleh Aristoteles, Thales, Pythagoras, dan para filsuf Yunani lainnya dari Periode Klasik (600-300 SM.). Aristoteles, misalnya, menceritakan bagaimana Thales menggunakan kecakapannya untuk mendeduksikan bahwa musim panen zaitun pada musim berikutnya akan sangat berlimpah. Karena itu ia membeli semua alat penggiling zaitun dan memperoleh keuntungan besar ketika panen zaitun yang melimpah itu benar-benar terjadi.

Penalaran deduktif adalah penalaran dari suatu fakta yang umum ke fakta yang spesifik. Dengan kata lain,  penalaran deduktif mencapai suatu kesimpulan spesifik berdasarkan suatu hal yang umum.Penalaran deduktif biasa digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan baik berupa teorema matematika, argumen legal, atau teori saintifik. Penalaran deduktif membawa pada suatu pernyataan yang benar, diberikan premis‐premis bernilai benar.

Penalaran deduktif tergantung pada premisnya. Artinya, premis yang salah mungkin akan membawa kita kepada hasil yang salah, dan premis yang tidak tepat juga akan menghasilkan kesimpulan yang tidak tepat.

Penalaran deduktif memberlakukan prinsip-prinsip umum untuk mencapai kesimpulan-kesimpulan yang spesifik, sementara penalaran induktif menguji informasi yang spesifik, yang mungkin berupa banyak potongan informasi yang spesifik, untuk menarik suatu kesimpulan umu. Dengan memikirakan fenomena bagaimana apel jatuh dan bagaimana planet-planet bergerak, Isaac Newtonmenyimpulkan teori daya tarik. Pada abad ke-19, Adams dan LeVerrier menerapkan teori Newton (prinsip umum) untuk mendeduksikan keberadaan, massa, posisi, dan orbit Neptunus (kesimpulan-kesimpulan khusus) tentang gangguan (perturbasi) dalam orbit Uranus yang diamati (data spesifik).

Contoh klasik dari penalaran deduktif, yang diberikan oleh Aristoteles, ialah

Semua manusia fana (pasti akan mati). (premis mayor)

Sokrates adalah manusia. (premis minor)

Sokrates pasti (akan) mati. (kesimpulan)

Contoh dari argument deduktif :

Premis 1 : Setiap mamalia punya sebuah jantung

Premis 2 : Semua kuda adalah mamalia

Konklusi : Setiap kuda punya sebuah jantung

Untuk memudahkan anda mengidentifikasi maupun mengenali perbedaan antara penalaran induktif maupun deduktif, anda dapat lihat dibawah ini :

2.10.3.  Perbedaan penalaran induktif dan penalaran deduktif :

Alternatif dari penalaran deduktif adalah penalaran induktif. Perbedaan dasar di antara keduanya dapat disimpulkan dari dinamika deduktif tengan progresi secara logis dari bukti-bukti umum kepada kebenaran atau kesimpulan yang khusus; sementara dengan induksi, dinamika logisnya justru sebaliknya. Penalaran induktif dimulai dengan pengamatan khusus yang diyakini sebagai model yang menunjukkan suatu kebenaran atau prinsip yang dianggap dapat berlaku secara umum.

Deduktif	Induktif
Jika semua premis benar maka kesimpulan pasti benar	Jika premis benar, kesimpulan mungkin benar, tapi tak pasti benar.
Semua informasi atau fakta pada kesimpulan sudah ada, sekurangnya secara implisit, dalam premis.	Kesimpulan memuat informasi yang tak ada, bahkan secara implisit, dalam premis.

Kaitan penalaran induktif dan penalaran deduktif :

 

BAB III

PENUTUP

3.1. KESIMPULAN

Dari hasil pengamatan pada tugas ini maka dapat disimpulkan bahwa Logika memainkan peranan penting dalam berbagai bidang keilmuan, bahkan dalam kehidupan manusia sehari-hari. Logika sangat berkatan dengan penalaran. Dasar penalaran dalam logika ada dua, yakni deduktif dan induktif. Penalaran deduktif—kadang disebut logika deduktif—adalah penalaran yang membangun atau mengevaluasi argumen deduktif. Argumen dinyatakan deduktif jika kebenaran dari kesimpulan ditarik atau merupakan konsekuensi logis dari premis-premisnya. Argumen deduktif dinyatakan valid atau tidak valid, bukan benar atau salah. Sebuah argumen deduktif dinyatakan valid jika dan hanya jika kesimpulannya merupakan konsekuensi logis dari premis-premisnya.